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数据结构之二叉树(遍历、建立、深度) (转)

 
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1、二叉树的深度遍历

        二叉树的遍历是指从根结点出发，按照某种次序依次访问二叉树的所有结点，使得每个结点被访问一次且仅被访问一次。 

        对于二叉树的深度遍历，有前序遍历二叉树、中序遍历二叉树、后序遍历二叉树三种形式，下面分别进行学习和介绍。

 

1.1 二叉树的前序遍历

        1）前序递归遍历

 

        规则是若二叉树为空，则空操作返回，否则先访问根结点，然后前序遍历左子树，再前序遍历右子树。如下图所示，遍历的顺序为ABDGHCEIF。

 

 

 

前序递归遍历的代码实现，如下所示。

 

 
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//前序递归遍历
void PreOrderTraverse(BiTree t)
{
    if(t != NULL)
    {
        printf("%c ", t->data);
        PreOrderTraverse(t->lchild);
        PreOrderTraverse(t->rchild);
    }
}

 

 

        2）前序非递归遍历

    根据前序遍历访问的顺序，优先访问根结点，然后再分别访问左孩子和右孩子。即对任一结点，其可看做是根结点，因此可以直接访问，访问完之后，若其左孩子不为空，按相同的规则访问它的左子树；当访问其左子树时，再访问它的右子树，因此其处理过程如下：

        对于任一结点p：

        a. 访问结点p，并将结点p入栈；

        b. 判断结点p的左孩子是否为空，若为空，则取栈顶结点并进行出栈操作，并将栈顶结点的右孩子置为当前的结点p，循环置a；若不为空，则将p的左孩子置为当前结点p；

        c. 直到p为空，并且栈为空，则遍历结束。

        前序非递归遍历代码实现，如下所示。 

 

 
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//前序非递归遍历
int NoPreOrderTraverse(BiTree t)
{
    SqStack s;
    InitStack(&s);
 
    BiTree tmp = t;
    if(tmp == NULL)
    {
        fprintf(stdout, "the tree is null.\n");
        return ERROR;
    }
 
    while((tmp != NULL) || (IsEmpty(&s) != 1))
    {
        while(tmp != NULL)
        {
            Push(&s, tmp);
            printf("%c ", tmp->data);
            tmp = tmp->lchild;
        }
        if(IsEmpty(&s) != 1)
        {
            Pop(&s, &tmp);
            tmp = tmp->rchild;
        }
    }
     
    return OK;
}

 

 

1.2 中序遍历二叉树

        1）中序递归遍历

      规则是若树为空，则空操作返回，否则从根结点开始（注意这里并不是先访问根结点），中序遍历根结点的左子树，然后是访问根结点，最后中序遍历右子树。如下图所示，遍历的顺序为：GDHBAEICF。

   

    中序递归遍历代码实现如下所示。

 

 
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//中序递归遍历
void InOrderTraverse(BiTree t)
{
    if(t != NULL)
    {
        InOrderTraverse(t->lchild);
        printf("%c ", t->data);
        InOrderTraverse(t->rchild);
    }
}

 

 

        2）中序非递归遍历

 

    根据中序遍历的顺序，对于任一结点，优先访问其左孩子，而左孩子结点又可以看做一个根结点，然后继续访问其左孩子结点，直到遇到左孩子结点为空的结点才停止访问，然后按相同的规则访问其右子树。其处理过程如下：

       对于任一结点：

       a. 若其左孩子不为空，则将p入栈，并将p的左孩子设置为当前的p，然后对当前结点再进行相同的操作；

       b. 若其左孩子为空，则取栈顶元素并进行出栈操作，访问该栈顶结点，然后将当前的p置为栈顶结点的右孩子；

       c. 直到p为空并且栈为空，则遍历结束。

       中序非递归遍历代码实现如下所示。

 

 
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//中序非递归遍历二叉树
int NoInOrderTraverse(BiTree t)
{
    SqStack s;
    InitStack(&s);
     
    BiTree tmp = t;
    if(tmp == NULL)
    {
        fprintf(stderr, "the tree is null.\n");
        return ERROR;
    }
 
    while(tmp != NULL || (IsEmpty(&s) != 1))
    {
        while(tmp != NULL)
        {
            Push(&s, tmp);
            tmp = tmp->lchild;
        }
 
        if(IsEmpty(&s) != 1)
        {
            Pop(&s, &tmp);
            printf("%c ", tmp->data);
            tmp = tmp->rchild;
        }
    }
    return OK;
}

 

 

1.3 后序遍历二叉树

        1）后序递归遍历

       规则是若树为空，则空操作返回，否则从左到右先叶子后结点的方式遍历访问左右子树，最后是访问根结点。遍历的顺序为：GHDBIEFCA。

 

        后序递归遍历代码实现，如下所示。

 

 
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//后序递归遍历
void PostOrderTraverse(BiTree t)
{
    if(t != NULL)
    {
        PostOrderTraverse(t->lchild);
        PostOrderTraverse(t->rchild);
        printf("%c ", t->data);
    }
}

 

 

        2）后序非递归遍历

 

    后序遍历的非递归实现是三种遍历方式中最难的一种。因为在后序遍历中，要保证左孩子和右孩子都已被访问，并且左孩子在右孩子之前访问才能访问根结点，这就为流程控制带来了难题。下面介绍一种思路。

     要保证根结点在左孩子和右孩子访问之后才能访问，因此对于任一结点p，先将其入栈。若p不存在左孩子和右孩子，则可以直接访问它，或者p存在左孩子或右孩子，但是其左孩子和右孩子都已经被访问过了，则同样可以直接访问该结点。若非上述两种情况，则将p的右孩子和左孩子依次入栈，这样就保证了每次取栈顶元素的时候，左孩子在右孩子之前别访问，左孩子和右孩子都在根结点前面被访问。

        后序非递归遍历代码实现，如下所示。

 

 
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//后序非递归遍历二叉树
int NoPostOrderTraverse(BiTree t)
{
    SqStack s;
    InitStack(&s);
 
    BiTree cur;     //当前结点 
    BiTree pre = NULL;      //前一次访问的结点
    BiTree tmp;
 
    if(t == NULL)
    {
        fprintf(stderr, "the tree is null.\n");
        return ERROR;
    }
 
    Push(&s, t);
    while(IsEmpty(&s) != 1)
    {
        GetTop(&s, &cur);//
        if((cur->lchild == NULL && cur->rchild == NULL) || (pre != NULL && (pre == cur->lchild || pre == cur->rchild)))
        {
            printf("%c ", cur->data);    //如果当前结点没有孩子结点或者孩子结点都已被访问过
            Pop(&s, &tmp);
            pre = cur;
        }
        else
        {
            if(cur->rchild != NULL)
            {
                Push(&s, cur->rchild);
            }
            if(cur->lchild != NULL)
            {
                Push(&s, cur->lchild);
            }
        }
    }
    return OK;
}

 

 

2、二叉树的广度遍历 

   广度遍历二叉树（即层次遍历）是用队列来实现的，从二叉树的第一层（根结点）开始，自上而下逐层遍历；在同一层中，按照从左到右的顺序对结点逐一访问。如下图所示，遍历的顺序为：ABCDEFGHI。

   

    按照从根结点到叶结点、从左子树到右子树的次序访问二叉树的结点，具体思路如下：

A. 初始化一个队列，并把根结点入队列；

B. 当队列为非空时，循环执行步骤3到步骤5，否则执行步骤6；

C. 出队列取得一个结点，访问该结点；

D. 若该结点的左子树为非空，则将该结点的左子树入队列；

E. 若该结点的右子树为非空，则将该结点的右子树入队列；

F. 结束。

广度遍历二叉树代码实现，如下所示。

 

 
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//层次遍历二叉树 - 广度遍历二叉树 - 队列
int TraverseBiTree(BiTree t)
{
    LinkQueue q;
    InitQueue(&q);
     
    BiTree tmp = t;
    if(tmp == NULL)
    {
        fprintf(stderr, "the tree is null.\n");
        return ERROR;
    }
 
    InsertQueue(&q, tmp);
    while(QueueIsEmpty(&q) != OK)
    {
        DeQueue(&q, &tmp);
        printf("%c ", tmp->data);
        if(tmp->lchild != NULL)
        {
            InsertQueue(&q, tmp->lchild);
        }
        if(tmp->rchild != NULL)
        {
            InsertQueue(&q, tmp->rchild);
        }
    }
 
    return OK;
}

 

 

3、二叉树的建立

   如果要在内存中建立一个如下左图这样的树，wield能让每个结点确认是否有左右孩子，我们对它进行扩展，变成如下右图的样子，也就是将二叉树中的每个结点的空指针引出一个虚结点，其值为一个特定值，比如”#”，称之为扩展二叉树。扩展二叉树就可以做到一个遍历序列确定一棵二叉树了。如前序遍历序列为AB#D##C##。

 

    有了这样的准备，就可以看看如何生成一棵二叉树了。假设二叉树的结点均为一个字符，把刚才前序遍历序列AB#D##C##用键盘挨个输入，实现的算法如下所示。

二叉树建立实现代码一，如下所示。

 

 
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//创建树
//按先后次序输入二叉树中结点的值(一个字符),#表示空树
//构造二叉链表表示的二叉树
BiTree CreateTree(BiTree t)
{
    char ch;
    scanf("%c", &ch);
 
    if(ch == '#')
    {
        t = NULL;
    }
    else
    {
        t = (BitNode *)malloc(sizeof(BitNode));
        if(t == NULL)
        {
            fprintf(stderr, "malloc() error in CreateTree.\n");
            return;
        }
 
        t->data = ch;                        //生成根结点
        t->lchild = CreateTree(t->lchild);    //构造左子树
        t->rchild = CreateTree(t->rchild);    //构造右子树
    }
    return t;
}

 

 

    二叉树建立实现代码二，如下所示。

 

 
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//创建树方法二
int CreateTree2(BiTree *t)
{
    char ch;
    scanf("%c", &ch);
 
    if(ch == '#')
    {
        (*t) = NULL;
    }
    else
    {
        (*t) = (BiTree)malloc(sizeof(BitNode));
        if((*t) == NULL)
        {
            fprintf(stderr, "malloc() error in CreateTree2.\n");
            return ERROR;
        }
 
        (*t)->data = ch;
        CreateTree2(&((*t)->lchild));
        CreateTree2(&((*t)->rchild));
    }
    return OK;
}

 

 

    其实建立二叉树，也是利用了递归的原理。只不过在原来应该打印结点的地方，改成生成结点、给结点赋值的操作而已。因此，完全可以用中序或后序遍历的方式实现二叉树的建立，只不过代码里生成结点和构造左右子树的代码顺序交互一下即可。

 

4、二叉树的深度

树中结点的最大层次称为树的深度。对于二叉树，求解树的深度用以下两种方法实现。即非递归和递归的方法实现。

递归求解二叉树的深度实现代码，如下所示。

 

 
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//二叉树的深度 - 递归
//返回值: 二叉树的深度
int BiTreeDeep(BiTree t)
{
    int dept = 0;
     
    if(t)
    {
        int lchilddept = BiTreeDeep(t->lchild);
        int rchilddept = BiTreeDeep(t->rchild);
 
        dept = lchilddept >= rchilddept ? (lchilddept + 1) : (rchilddept + 1);
    }
 
    return dept;
}

 

 

    对于非递归求解二叉树的深度，这里采用了层次遍历的原理，通过层次遍历，找到二叉树的最后一个结点。然后，根据该结点，寻找其双亲结点，即找到其上一层，此时深度dept加1，依次进行，直到根结点为止。

非递归求解二叉树深度的实现，如下所示。

 

 
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//返回二叉树的深度 - 非递归  - 受层次遍历二叉树的影响
//返回值: 二叉树的深度
int NoBiTreeDeep(BiTree t)
{
    LinkQueue q;
    InitQueue(&q);
 
    BiTree tmp = t;
    if(tmp == NULL)
    {
        return ERROR;
    }
 
    InsertQueue(&q, tmp);
    while(QueueIsEmpty(&q) != OK)
    {
        DeQueue(&q, &tmp);
        //printf("%c ", tmp->data);
         
        if(tmp->lchild != NULL)
        {
            InsertQueue(&q, tmp->lchild);
        }
        if(tmp->rchild != NULL)
        {
            InsertQueue(&q, tmp->rchild);
        }
    }
     
    int deep = 0;
    BiTree m = tmp;
    BiTree n = t;
    while(m != n)
    {
        InsertQueue(&q, n);
        while(QueueIsEmpty(&q) != OK)
        {
            DeQueue(&q, &tmp);
            if(m == tmp->lchild || m == tmp->rchild)
            {
                deep++;
                m = tmp;
                break;
            }
 
            if(tmp->lchild != NULL)
            {
                InsertQueue(&q, tmp->lchild);
            }
            if(tmp->rchild != NULL)
            {
                InsertQueue(&q, tmp->rchild);
            }
        }
    }
     
    return deep + 1;    //深度从1开始
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